二次型⚓︎

高代 2-2 开篇

预备知识⚓︎

配方法
对称阵的定义
矩阵的初等变换

二次型的定义及其矩阵表示⚓︎

二次型的定义

设 \(P\) 为一个数域，关于 \(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\) 的二次齐次多项式
\(f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+\dots+a_{nn}x_{n}^{2}\)，其中 \(a_{ij}\in P\)，那么多项式称为 \(P\) 上的一个 \(n\) 元二次型

很自然地会有想对称书写的想法使结果更加的美观

\[ X= \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}, A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &\dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} &\dots & a_{nn} \end{pmatrix} \]

一个二次型与它的矩阵相互唯一确定

二次型的非退化线性变换与对称矩阵的合同变换⚓︎

线性变换的定义

\[ \left\{\begin{matrix} x_{1}=c_{11}y_{1} +c_{12}y_{2}+\dots c_{1n}y_{n}, \\ x_{2}=c_{21}y_{1} +c_{22}y_{2}+\dots c_{2n}y_{n}, \\ \vdots \\ x_{n}=c_{n1}y_{1} +c_{n2}y_{2}+\dots c_{nn}y_{n}, \end{matrix}\right.\]

这称为 \(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\) 到 \(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}\) 的一个线性变换，这记为 \(X=CY\)

所谓非退化就是变换的矩阵 \(C\) 是可逆的

合同的定义

如果 \(A,B\) 是两个 \(n\) 阶方阵，存在 \(C\) 是 \(n\) 阶可逆矩阵，使得

\[ B=C'AC\]

那么称 \(A,B\) 合同

也就是说经过非退化的线性变换后，新二次型的矩阵和原本的矩阵是合同的

那么我们的目标也明确了，我们将用非退化的线性变换把二次型简化，同时用合同变换把对称矩阵化为简单的矩阵

二次型的标准形⚓︎

定理 4.1

任意二次型一定可以经过适当的非退化线性变换化为标准形（也就是新变量平方和的形式的二次型）

\[ d_{1}y_{1}^{2}+d_{2}y_{2}^{2}+\dots+d_{r}y_{r}^{2},r\leq n \]

Proof is easy

但是这个过程还是比较复杂的，并不是特别清晰简洁，还是有必要看看

需要知道如果没有二次项就需要自己做一个平方差的变换：

\[ \left\{ \begin{matrix} x_{1} &=&y_{1}+y_{2} \\ x_{2} &=&y_{1}-y_{2} \\ x_{3} &=&y_{3} \end{matrix} \right. \]

再根据标准形是一个对角阵得到一个小定理

定理 4.2

任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，这个对角矩阵称为对称矩阵的标准形

并且一个二次型的标准形不唯一，也就是系数不是唯一确定的，但是标准形中不为 \(0\) 的平方项的个数是唯一确定的，称为二次型的秩

二次型的规范形⚓︎

复数域⚓︎

定理 5.1

任意一个复二次型都可以经过非退化线性变换化为

\[ z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots+z_{r}^{2} \]

称为复二次型的规范形，规范形是唯一的

Proof

先化成标准形，再利用复数域下任何数都可以开平方做一个非退化线性变换

那么很容易得到一个推论就是任意一个复对称矩阵都合同于形如

\[ \begin{pmatrix} &1 \\ & & \ddots\\ & & &1 \\ & & & &0 \\ & & & & &\ddots\\ & & & & &&0 \end{pmatrix} \]

的对角矩阵，其中 \(1\) 的个数就等于这个矩阵的秩

并且还有两个 \(n\) 阶复对称矩阵合同的充分必要条件就是它们秩相等

实数域⚓︎

也可以化为规范形，只不过无法做到全为 \(1,0\)，但是实数域中的正数都可以开方

因此原本的 \(0\) 将变为 \(-1，0\)

\[ \begin{pmatrix} &1 \\ & & \ddots\\ & & &1 \\ & & & &-1 \\ & & & & &\ddots\\ & & & & & &0 \end{pmatrix} \]

并且可以证明这个规范形也是唯一的，这里的证明比较巧妙

其中 \(\pm 1\) 的个数和称为这个矩阵的秩，\(1,-1\) 分别称为这个矩阵的正、负惯性指数，正、负惯性指数的差称为符号差

问题

把 \(n\) 阶实对称矩阵按合同关系分类，共分几类？

Answer=\(\sum\limits_{r=0}^{n}(r+1)= \frac{(n+2)(n+1)}{2}\) 也就是按照秩先分类然后累加即可

正定二次型⚓︎

如果在 \(f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+\dots+a_{nn}x_{n}^{2}\) 中任意取自变量值，得到的函数值始终为正，那么称为正定二次型，同时它的矩阵称为正定矩阵。

因为标准形是否正定很好判断，那么就可以考虑能否通过判断一个二次型的标准形是否正定来判断原本的二次型是否正定？也就是非退化线性变换是否保持二次型的正定性？

可以证明如果是正定的，那么经过非退化的线性变换仍然保持正定性不变

可以很快得到下面的定理

判定定理⚓︎

定理 6.1

实二次型 \(f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\) 是正定二次型 \(\iff\) 正惯性指数为 \(n\)

定理 6.2

实对称矩阵是正定矩阵 \(\iff\) 它与单位矩阵合同

合同变换保持实对称矩阵的正定性不变

定理 6.3

实对称矩阵 \(A\) 是正定矩阵\(\iff\)\(\exists D,A=D'D\)

那么可以得到正定矩阵的行列式一定大于零，但是行列式大于零的实对称矩阵不一定是正定矩阵

定理6.4

实对称矩阵\(A\)是正定矩阵\(\iff\)\(A\)的顺序主子式全部大于零

很自然的推论有：

定理 6.4

\(A\) 是正定矩阵\(\iff\)\(A\)的所有主子式全部大于零

性质⚓︎

性质

若 \(A,B\) 都是 \(n\times n\) 正定矩阵
1. \(A^{T}\) 是正定矩阵
2. \(A^{-1}\) 是正定矩阵
3. \(A+B\) 是正定矩阵
4. \(C=(c_{ij})_{n\times n}=(a_{ij}b_{ij})_{n\times n}\) 是正定矩阵
5. \(AB\) 是否正定？

可以根据正定给出半正定的判定定理和定理等价性，也就是不严格的不等号

相反方向思考即可得到负定矩阵、半负定矩阵和不定矩阵的概念

如果在 \(f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+\dots+a_{nn}x_{n}^{2}\) 中任意取自变量值，得到的函数值始终为负，那么称为负定二次型，同时它的矩阵称为正定矩阵。