25 数理统计期中⚓︎
因为基本是书本上的课后习题和考研题就不写解答了（第六题可以参考韦博成的高等数理统计）
1(15 分)
已知 \(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\overset{IID}{\sim}B(1,p)\)，设其中 \(0<p<1\)，\(\theta=p^{2}\)
(1) 试求 \(\theta\) 的无偏估计的 C-R 下界
(2) 试求 \(\theta\) 的极大似然估计 \(\hat\theta_{ML}\)
(3) 试证明 \(E(\hat{\theta}_{ML})\neq\theta\)，问 \(\hat{\theta}_{ML}\) 是向上偏还是向下偏
2(15 分)
设总体 \(X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})\) 中分别抽取容量为 \(n_{1}=10,n_{2}=15\) 的独立样本，可计算得 \(\overline{x}=82,s_{x}^{2}=56.5,\overline{y}=76,s_{y}^{2}=52.4\)
(1)若已知 \(\sigma_{1}^{2}=64,\sigma_{2}^{2}=49\)，求 \(\mu_{1}-\mu_{2}\) 的置信水平为 95%的置信区间
(2)若已知 \(\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}\)，求 \(\mu_{1}-\mu_{2}\) 的置信水平为 95%的置信区间
(3)若对 \(\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2}\) 一无所知，求 \(\mu_{1}-\mu_{2}\) 的置信水平为 95%的近似置信区间
(4)求 \(\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\) 置信水平为 95%的置信区间
3(15 分)
在买面包作早点的男女消费者中，男性购买者的比例 \(p\) 未知，但知道 \(\frac{1}{3}\leqslant p\leqslant \frac{1}{2}\)，设在 70 个购买者中发现 12 个是男性，58 个是女性，试求 \(p\) 的 MLE.如果对 \(p\) 没有限制，试求 \(p\) 的 MLE
4(15 分)
已知 \(X_{1},X_{2},\dots,X_{n}\overset{IID}{\sim}N(\mu,\sigma^{2})\)，其中 \(\mu\in R\) 为未知参数，\(\sigma^{2}>0\) 为已知参数
(1) 试求 \(\mu^{3},\mu^{4}\) 的 UMVUE
(2) 试求概率 \(P(X_{1}\leqslant t)\) 和 \(\frac{\partial}{\partial t}P(X_{1}\leqslant t)\) 的 UMVUE，其中 \(t\in R\) 为给定常数
5(15 分)
设随机样本 \(X_{1},X_{2},\dots,X_{n}\) 来自分布 \(f(x,\theta)=\theta^{2}x\exp(-\theta x),x>0,\theta>0\)
(1) 试证明 \(T=\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}\) 为 \(\theta\) 的充分完备统计量
(2) 试求 \(E\left( \frac{1}{T} \right)\)
6(15 分)
设 \(X_{1},X_{2},\dots,X_{m}\overset{IID}{\sim}N(\theta,\sigma^{2})\)，我们需求出 \(\theta^{2}\) 的估计，下面提供三种不同的估计序列：
(1) 试给出 \(\delta_{i,n}\) 的渐近分布
(2) 试证明 \(\delta_{1.n}\) 和 \(\delta_{2,n}\) 是渐近无偏的，而 \(\delta_{3,n}\) 是渐近有偏的。
7(10 分)
设 \(X_{1},X_{2},\dots,X_{n}\overset{IID}{\sim}F(x)\)，对于固定的 \(x\in R\)，试求总体分布 \(F(x)\) 的置信水平近似为 \(1-\alpha\) 的大样本置信区间