Lecture 2 - Poisson Processes⚓︎
Syllabus
- Poisson 过程
- 到达间隔
- 到达时间
Poisson 过程的定义⚓︎
Poisson 过程刻画了人们“等待”和“计数”等行为中所蕴含随机性。Poisson 过程是最基本也是最重要的一类连续时间参数随机过程。它是最典型的 Markov 过程，Levy 过程；而且还是一个半鞅。
基本概念⚓︎
Definition 2.1 (计数过程, Counting processes)
如果随机过程 \(\left\{ N(t),t \geqslant 0 \right\}\) 表示时间段内发生的事件总数，则称随机过程 \(N(t)\) 为计数过程 (Counting processes)
It should satisfy the following conditions:
- \(N(t)\geqslant 0\)
- \(N(t)\) 是整数
- 单调性
为了更好地研究计数过程可以增加一些自定义的约束条件：独立增量与平稳增量
Definition 2.2 (独立增量过程， independent increments)
对于连续时间的随机过程，简单来说就是任意设置间隔点，其中发生的事件数相互独立，这就称为独立增量过程
如果对于 \(X(t+s)-X(t)\)，有任意的 \(t\) 分布相同，则称为平稳增量过程(stationary increments)
接下来利用上面的概念给出最基本的一类随机过程-Poisson 过程的刻画
Poisson 过程⚓︎
Definition 2.3 (Poisson 过程, 1)
若计数过程 \(\left\{ N(t),t \geqslant 0 \right\}\) 满足
+ N(0)=0
+ 具有独立增量
+ 长度为 \(t\) 的任意区间内的事件数服从均值 \(\lambda t\) 的 Poisson 分布，即 \(\forall s,t \geqslant 0,P(N(t+s)-N(s)=n)=e^{-\lambda t} \frac{\left( \lambda t \right)^{n}}{n!},n=0,1\dots\)
称为具有速率 \(\lambda\) 的 Poisson 过程。
然而条件 (3) 在实际中是很难验证的，所以我们有必要给出一个等价定义
Remark: 需要掌握其中的差别和互推的方式