静电场中的导体和电介质
这一章不知道在干什么，感觉讲的东西都不是很有作用
导体的静电平衡
导体静电平衡的条件和性质
在外电场作用下，导体中的自由电荷发生定向移动从而导致电荷的重新分布，这种现象称为静电感应，当导体内部和表面都无电荷定向移动的状态称为静电平衡状态
静电平衡的性质：
- 导体内部，场强处处为零
- 导体表面附近的场强方向垂直于导体表面
- 导体是等势体
- 电荷只能分布在表面
- 电荷面密度与表面邻近处的场强成正比
空腔导体和静电屏蔽
那么显然的，空腔的内表面没有任何电荷，直接利用高斯定律即可得到，然后空腔内部和导体内部电场强度处处为零，是等势体，以上结论和腔外的带电体无关，这叫做第一类静电屏蔽
空腔内部有感应电荷，空腔外表面上感应电荷的电量与内表面上感应电荷的电量之和，遵守电荷守恒定律，外表面电荷量要受腔内电荷量影响，将第二类空腔导体接地之后，此时腔内的任何电场都不影响外界，不受外界影响，称为第二类静电屏蔽
对于静电平衡内部的处理和方程组的解法需要认真思考和掌握
电容器及其电容
电容器及其电容
对于其定义和生活应用是无用的内容，跳过，直接来到孤立导体的电容，根据实验和理论表面
\[
C= \frac{q}{U}
\]
其中比例系数\(C\)就称为电容，其中单位称为法拉\(F\)
根据公式知道，对于孤立的导体球，有\(C= \frac{q}{U}= 4\pi\varepsilon_{0}R\)，其中两极板电容器也是一种常见的电容器，对于它的电容定义为
\[
C \triangleq \frac{q}{U_{AB}}
\]
\[
\begin{aligned}
E= \frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}= \frac{q / S}{\varepsilon_{0}}&\implies U_{AB}=Ed= \frac{qd}{\varepsilon_{0}S}\\
C&= \frac{q}{U}= \frac{\varepsilon_{0}S}{d}
\end{aligned}
\]
直接考虑高斯定理，那么有
\[
\begin{aligned}
2\pi rLE= \frac{q}{\varepsilon_{0}},E= \frac{q}{2\pi\varepsilon_{0}Lr}\\
U=\int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{q}{2\pi\varepsilon_{0}Lr} \, dr= \frac{q}{2\pi\varepsilon_{0}L}\ln \frac{R_{2}}{R_{1}}\\
C= \frac{q}{U}= \frac{2\pi\varepsilon_{0}L}{\ln R_{2} / R_{1}}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
E= \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}},R_{1}<r<R_{2}\\
U= \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \, dr= \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{R_{1}}- \frac{1}{R_{2}} \right) \\
C= \frac{q}{U}=4\pi\varepsilon_{0} \frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}
\end{aligned}
\]
电容器的并联和串联的解决思路
- 并联 \(C=\sum\limits_{i}C_{i}\)
- 串联 \(\frac{1}{C}= \sum\limits_{i} \frac{1}{C_{i}}\)
电介质对电容的影响
在电容器中充满某种均匀介质的时候，电容器的电容会增大，如果板内为真空那么电容为\(C_{0}\)，充满介质之后电容是\(C\)，实验表明
\[
\frac{C}{C_{0}}=\varepsilon_{r}\geqslant 1
\]
将相对电容率（相对介电常量）称为\(\varepsilon_{r}\)，相对电容率和真空介电常量的乘积记为电容率（介电常量），\(\varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\)
静电场中的电介质
电介质的极化
所谓电介质就是不易导电的绝缘体，有介质后电容增大
\[
C=\varepsilon_{r}C_{0}\implies U= \frac{1}{\varepsilon_{r}}U_{0},E= \frac{1}{\varepsilon_{r}}E_{0}
\]
极化强度和极化电荷
感觉不会考，直接不看了，也是一个无聊的定义
有电介质的高斯定理
电位移矢量 高斯定理
虽然高斯定理是建立在库仑定律上的，但是在有的电介质的情况下也是成立的
\[
\begin{aligned}
\iint_{S} \overline{E} d \overline{S} &= \frac{1}{\varepsilon_{0}} \sum\limits_{S}(q_{0}+q')\\
\iint_{S} \overline{P} d \overline{S}&= - \sum\limits_{S} q'\\
\iint_{S}(\varepsilon_{0} \overline{E}+ \overline{P} ) d \overline{S}&= \sum\limits_{S} q_{0}
\end{aligned}
\]
上式中的\(q_{0}\)代表的是自由电荷，其中电位移矢量就定义为
\[
\overline{D}= \varepsilon_{0} \overline{E}+ \overline{P}
\]
换句话说就是通过任一闭合曲面的电位移通量，等于该曲面内所包围的自由电荷的代数和，这也是高斯定理的普遍形式、电磁学的基本规律之一，也是Maxwell方程组的第一个方程
\[
\begin{aligned}
\overline{P}&=\chi_{e}\varepsilon_{0} \overline{E}\\
\overline{D}&= \varepsilon_{0} \overline{E}+ \overline{P}=(1+\chi_{e})\varepsilon_{0} \overline{E}\\
&\implies\varepsilon_{r}=1+\chi_{e}\\
&\implies \overline{D}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} \overline{E}= \varepsilon \overline{E}
\end{aligned}
\]
静电场的边值关系
我确信应该是不会考的
静电场中的能量
带电体系的静电能
关于体系的能量分析依然是分几个基本情况
- 两个点电荷的互能
- 三个点电荷的互能
- \(n\)个点电荷的互能
还有连续带电体系的静电能、电荷在外电场中的静电能（感觉完全不会考）
电场的能量和能量密度
感觉不会考，后面再看吧，主要是两个例题的问题，代入公式可以比较容易的得到相关答案