恒定磁场
磁场 磁感应强度
磁现象 磁感应强度
磁现象就是无聊的历史然后磁性的由来得问奥斯特那个磁针了，然后安培发现磁场和电场类似，都可以产生力
关于磁感应强度的一个度量，我们考虑单位运动电荷在磁场中受到的磁场力（洛伦兹力）的大小和方向来定义磁感应强度
\[
\overline{F}_{L}= q_{0} \overline{v} \times \overline{B}
\]
并且磁感应强度的矢量可以考虑为
\[
B= \frac{F_{L}}{q_{v}v\sin\theta}
\]
磁通量 磁场的高斯定理
类似电场研究磁场，我们考虑磁感线来定义磁场的分布，那么磁通量就是穿过任一面元的磁力线条数，称为通过此面元的磁感线条数，，定义为磁感应强度和矢量面元的标积
\[
\Phi_{B}= \iint_{S} \overline{B} d \overline{S}
\]
单位是韦伯
对于磁场的高斯定理也是一样的，即通过任意的闭合曲面的磁通量恒为0
\[
\Phi_{B }= \iint_{S} \overline{B} d \overline{S}=0
\]
带电粒子在磁场中的运动
带电粒子在磁场中的运动
经典的高中物理大题，我们考虑将速度分解为平行于和垂直于磁场的分量，然后我们考虑垂直于磁场分量为0的情况，那么所受到的洛伦茨力为0，粒子应该做匀速直线运动，当平行于磁场分量为0时，垂直于磁场的速度分量提供做匀速圆周运动的向心力，运动方程
\[
qv_{\perp}B = \frac{mv_{\perp}^{2}}{R}
\]
显然的半径是\(R= \frac{mv_{\perp}}{qB}\)，周期是\(T= \frac{2\pi m}{qB}\)，对于一般的情况将两个运动合成起来我们就可以得到摆线方程了
洛伦兹力的几个应用
- 磁聚焦 就是一束粒子沿着磁场方向速度方向相同，那么他们最终会在一个点聚焦
- 质谱仪 \(qE=qvB\implies v = \frac{E}{B}\implies \frac{q}{m}= \frac{E}{rBB_{0}}\)
- 霍尔效应 \(U_{AA'}= k \frac{IB}{b}\)
- 回旋加速器
磁场对载流导线的作用
安培力
电子在磁场中的受力为：\(\overline{F}_{L}= -e \overline{v} \times \overline{B}\)，那么一段载流导线中取微元\(dl\)，有电子数：\(nSdl\)，它们的受力是：
\[
d \overline{F}=- nSdl \cdot e \overline{v} \times \overline{B} =Id \overline{l} \times \overline{B}
\]
其中\(I=envS\)，\(d \overline{l}\)的方向是电流方向，安培力公式：
\[
\overline{F}= \int I d \overline{l}\times \overline{B}
\]
平面载流线圈在磁场中受的力矩
如果平面载流线圈的法线和磁感应强度方向平行那么合力为0，没必要研究，但是如果，磁感应强度垂直法线，那么合力为0但是合力矩不为0，结果如下：
\[
\begin{aligned}
dF=IdlB\sin\theta,dl=Rd\theta \\
dM=\lvert \overline{r}\times d \overline{F} \rvert \sin\theta=IR^{2}B\sin ^{2}\theta \cdot d\theta\\
M=I\pi R^{2}B=ISB
\end{aligned}
\]
如果是有夹角，那么直接投影得到
\[
M=IS \hat{n} \times \overline{B}
\]
任意载流平面线圈的磁矩
你应该按照平面的方法去分析它然后做积分，至于例子就不举了感觉很复杂
毕奥-萨伐尔定律
磁学的库仑定律
核心是类似磁学的库仑定律，可以通过这个定律来计算力
毕奥-萨伐尔定律
可以简单的对比一下，这是安培定律（电流元间的作用）
\[
d \overline{F}_{12}= \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{I_{2}d \overline{l}_{2} \times (I_{1} d \overline{l}_{1} \times \hat{r}_{12})}{r_{12}^{2}}
\]
下面是毕萨定律
\[
d \overline{B}_{1}= \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{I_{1}d \overline{l}_{1} \times \hat{r}_{12}}{r _{12}^{2}}
\]
后续优化为
\[
d \overline{B} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{I d \overline{l}\times \hat{r}}{r^{2}}
\]
主要需要掌握的例子有长直导线和载流圆线圈轴
两平行长直电流间的相互作用
在电流上取电流元分析，然后计算相关力
\[
d \overline{F}_{2} =I_{2} d \overline{l}_{2} \times \overline{B}_{1}\implies B_{1}= \frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi a}
\]
高斯定理
\[
\iint_{S} \overline{B} \cdot d \overline{S}=0
\]
运动电荷的磁场
\[
d \overline{B}= \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{I d \overline{l} \times \hat{r}}{r^{2}}
\]
对于静止电荷我们只需要考虑电场的作用但是运动电荷还需要考虑磁场和电场的共同作用
恒定磁场的安培环路定理
安培环路定理是最重要的，只需要知道磁感应强度沿着任意闭合回路的线积分，等于穿过此回路的所有电流强度代数和的\(\mu_{0}\)倍
\[
\int_{L} \overline{B} \cdot d \overline{l}=\mu_{0}\sum\limits_{i}I_{i}
\]
感觉情况是比较复杂的，建议还是根据作业和课本的内容来进行掌握，应该不需要掌握太多很难的题目，
磁介质 磁化
磁介质
实验表明，有、无磁介质的螺线管内磁感应强度
\[
\mu_{r}= \frac{\overline{B}}{\overline{B}_{0}}
\]
其中\(\mu_{r}\)为相对磁导率
根据相对磁导率的数值分段分为下面三种：
磁介质磁化时的微观机制
这个并不是非常重要的东西，主要是有分子的固有磁矩
磁化强度
不那么重要
磁化电流
不那么重要
磁化强度的环流（环路线积分）
不那么重要
有磁介质的环路定理 高斯定理
有磁介质的安培环路定理
\[
\int_{L} \overline{B}d \overline{l}= \mu_{0}\sum\limits_{L}I+\mu_{0}\sum\limits_{L}i'
\]
定义磁场强度如下：
\[
\overline{H}= \frac{\overline{B}}{\mu_{0}}- \overline{M}\implies \int_{L} \overline{H}\cdot d \overline{l}= \sum\limits_{L} I
\]
物理意义就是：沿任一闭合回路的磁场强度的线积分等于该闭合回路所包围的传导电流的代数和
\[
\begin{aligned}
\overline{M}=\chi_{m} \overline{H}\\
\overline{H} \triangleq \frac{\overline{B}}{\mu_{0}}- \overline{M}\\
\overline{B}=\mu_{0}(1+\chi_{m}) \overline{H}\\
\mu_{r}= (1+\chi_{m})\\
\overline{B}= \mu_{0}\mu_{r} \overline{H}=\overline{\mu}H
\end{aligned}
\]
有磁介质的高斯定理
\[
\overline{B}= \overline{B}_{0}+ \overline{B}'
\]
我们知道这些磁力线都是无头无尾那么有：
\[
\iint_{S} \overline{B}\cdot d \overline{S}=0
\]